「 編者按 」

從哥白尼顛覆性的《天體運行論》，到牛頓翻新性的《當然形而上學之數學旨趣》，再到達爾文始創性的《物種發源》……一部部科學經典著述，猶如東說念主類文雅史上秀氣的里程碑，承載著科學家的非凡細察與不懈追求，奠定了當代科學基石，鋪就了東說念主類非常的門道，引頸咱們邁向愈加廣寬的學問天地。

為讓更多讀者感受科學魔力，北京市科學時候協會推出“科學門道”專欄，對科學經典著述進行深化證實。接待您加入這場跨越時空的科學對話，重溫科學史上令東說念主嘆惜的時刻，一同曉悟科學之好意思，感悟智謀之光。

本期咱們帶來《巧妙的數學》一書，讓咱們沿路感受數學中的趣、秘、異、好意思、陳腐、嚴謹、實用。

在許多東說念主的眼中，數學似乎僅僅那些令東說念主頭疼的公式運算和繁瑣的邏輯推理。關聯詞，數學遠不啻于此，它蔭藏著一種私有的好意思感，恭候咱們去發現和賞玩。

當咱們透過公式和定理的表象，深化探究其背后的結構和限定時，會發現數學天下中蘊含著令東說念主嘆惜的對稱、融合和秀美。

荷蘭畫家梵高的后期作品里，不錯發現一些旋渦式的團。據《泰晤士報》報說念，墨西哥物理學家喬斯·阿拉貢經過商量發現，這些旋渦與科學家用來面容湍流好意思瞻念的數學公式不約而同

大要，當你看完這些圖之后，會對數學產生一種全新的意會和青睞，發現它不僅是求解問題的用具，更是賞玩天下的另一種姿首。

“黃金數”——幾何學中的瑰寶

巴特農神廟，神廟的長與高之比約為0.618

0.618被達·芬奇稱為“黃金數”，而“黃金分割”則被天體裁家開普勒贊為幾何學中的兩大瑰寶之一（另一件瑰寶是畢達哥拉斯定理，即勾股定理）。

顧名想義，黃金數被賦予黃金雷同的熠熠光彩和騰貴價值，受到了東說念主們平凡的接待。

事實上，黃金分割（比）一直統率著古代中東地區和中葉紀時辰的西方建立藝術，不管是古埃及的金字塔，依然高古典的巴特農神廟；不管是印度的泰姬陵，依然巴黎的埃菲爾鐵塔，這些眾東說念主矚狡計建立都是期騙黃金分割比例旨趣創作的偉大藝術品。

—些稀奇的名畫佳作、藝術珍品也處處體現了黃金分割（比）——它們的主題大批在作品的黃金分割點處（對于繪畫、雕鏤、建立等藝術來講，主題中的0.618無意表當今橫向，無意表當今縱向。唯有你肯仔細尋覓，便不難發現這個事實）。

在米勒的名畫《拾穗者》中，東說念主們發現其構圖中期騙了黃金分割

對于某些音樂、電影、體裁作品，其中樂章、故事、情節的高潮常常在全曲、全劇、全書的0.618前后。

更好奇的是，東說念主體中有著許多黃金分割的例子，比如：東說念主的肚臍是東說念主體全長的黃金分割點，而膝蓋又是東說念主體肚臍以下部分體長的黃金分割點，以致有東說念主竟以此次第去揣測一個東說念主的體形是否次第或健好意思。

達·芬奇在《維特魯威東說念主》這幅畫中，把東說念主體與幾何中最竣工而又淺近的圖形（圓和正方形）辯論到了沿路，圖中還蘊藏著黃金分割（比）。

達·芬奇《維特魯威東說念主》，東說念主的身高是按0.618所畫，其他部位也按特定比例次第繪圖，比如雙手伸開的寬度等于身高

好意思和對稱緊密接續

對稱主見領先源于幾何，如今它的含義已遠遠超出幾何領域。對稱亦然一種融合好意思，畢達哥拉斯、柏拉圖所認為的寰宇結構最淺近的基元——正多面體是對稱的；他們可愛的圖案五角星亦然對稱的；圓是最淺近的禁閉弧線，亦然一種最竣工的對稱圖形。

德國馳名數學家魏爾斯特拉斯說“好意思和對稱緊密接續”，從建立物外形到平日生計用品，從動植物外貌到生物有機體的構造，從化合物的構成到分子晶體的排布……其中都有對稱。

北京天壇的建立呈現對稱結構

古希臘東說念主十分寄望各式對稱好意思瞻念，以致他們竟創立一種學說，認為天下一切的限建都是從對稱來的。他們以為最對稱的東西是圓，是以他們把天體裁中的天體通順軌說念畫成圓的，其后圓上加圓，就發展成為希臘其后的天體裁。

開普勒商量天體運行時，再一次用上對稱不雅點。他同期發現，用圓上加圓對天體運行限定解釋時并不可行，可是將圓換成橢圓就不錯了。

倒影看上去是一種最天真實對稱

20世紀商量發現：對稱的要緊性在日積月累，這從某個方面也證實了希臘東說念主主見的合感性。

在能源學問題中，按照對稱不雅點來計劃不錯獲得許多要緊論斷。舉例一個氫原子中，一個電子圓形軌說念是原子核作用在電子上庫侖力的對稱成果和字據。這里對稱意味著在總計方朝上力的大小都雷同。

在中國，對子是一種國學，雅稱“楹聯”，其筆墨破壞，意旨深重，對仗工致、平仄相助，號稱中華英才的文化瑰寶。從筆墨個數和寓意上看，對子亦然一種對稱。

“圓”是最好意思的圖形

詩東說念主但丁曾獎飾說念：“圓是最好意思的圖形?！睆墓庞诮?，東說念主們對圓有著特殊親切的格式。古錢幣、徽章、某些圖案遐想中，都可找到圓。這在某種進度上是基于圓的竣工與破壞，其實圓亦然一個最竣工的對稱（軸對稱和中心對稱）圖形。

蜘蛛網上的水點

數學家對于破壞的追求永無盡頭。正如牛頓所說：“數學家更容易繼承漂亮的成果，不可愛丑陋的論斷，況兼他們也異常小心優好意思與雅致的證明，不可愛粗劣與繁復的推理?！?/p>

與圓辯論的圖形還有許多，比如圓錐、圓柱、球……與圓辯論的數學命題，更是不堪擺設。

古希臘學者阿基米德死于迫切西西里島的羅馬士兵之手。東說念主們為系念他，便在其墓碑上刻上“球內切于圓柱”的圖形，以系念他發現“球的體積和名義積均為其外切圓柱體積和名義積的三分之二”這一定理。

外傳阿基米德正在全神灌輸地畫幾何圖，又名羅馬士兵闖了進來，阿基米德疾聲喝說念“別動我的圓！”士兵用利劍刺殺了阿基米德

把一些要緊或知名的數字寫成一個圓的螺線形（且由大到小螺旋式順時針形容），這種圖形常會是令東說念主賞心悅狡計。

1994年，由一些破譯密碼志愿者構成的小組告捷破譯了一個有128位數字的密碼。密碼破譯后譯為：\"The magic words are squeamish ossifrage\"（意為“魔術的談話是易受驚嚇的髭兀鷹”）。

分形——不端弧線的數學分支

微積分發明之后，數學家們為了某種狡計而捏造的弧線，耐久以來一直視為數學中的“怪胎”（從融合與否角度看），如構造流暢但不可微函數、周長無盡所圍面積為零的弧線等。

關聯詞這一切卻被慧眼識金的數學家視為張含韻，從某些角度計劃它們又真實被當作數學中的“好意思”。東說念主們將它們經過加工、索要、抽象、抽象而創立了一門新的數學分支——分形。

分形幾何是好意思籍法國數學家芒德布羅在20世紀70年代創立的一門數學新分支，它商量的是平凡存在于當然界和東說念主類社會中一類莫得特征法度卻有著相似結構的復雜體式和好意思瞻念。

它與歐氏幾何不同。歐氏幾何是對于直觀空間形骸關系分析的一門學科，商量的是直線、圓、正方體等軌則的幾何形骸，這些形骸都是東說念主為的?？墒?，“云彩不是球體、山峰不是錐體、海岸線不是圓周”。

分形圖示例

20世紀60年代，英國《科學》雜志刊載芒徳布羅的文章《英國海岸線有多長？》。這個看似不是問題的問題，仔細品嘗后卻會令東說念主大吃一驚：除了能給岀怎樣估算的方法性面容外卻莫得服氣的謎底——海岸線長會跟著度量標度（或步長）的變化而變化。

東說念主們在測量海岸線永劫（詳細它是一條不軌則弧線），老是先假設一個標度，然后用它沿海岸線步測一周獲得一個多邊形，其周長可視為海岸線的類似值。光顯由于標度選取的不同，海岸線長的數值不一，且標度越細致，海岸線數值越大。

真正地講，當標度趨向于0時，海岸線長并不趨向于某個詳情的值，而會變得無盡大（無盡不是數，而是一個極限歷程）。

海岸線測量暗示圖

許多聯系的分形會產生令東說念主感風趣的圖形，好意思國馳名物理學家惠勒說：“不錯信托，未來誰不熟諳分形，誰就不可被認為是科學上的文化東說念主！”

用有限來填滿無限

數學中“用有限來填滿無限”是一個好奇的話題。20世紀70年代，英國物理學家（亦然無意把數學作為文娛消遣的數學家）彭羅斯運轉有風趣商量在歸攏張平面上用不同的瓷磚鋪設的問題。

1974年，當他發表成果時，東說念主們都大吃一驚。文中他詳情了三類瓷磚（下稱彭羅斯瓷磚），第一類兩種分別為風箏形和鏢形，它們是由歸攏個菱形剪出的；第二類是由邊長相通、胖瘦不一的兩種菱形構成的（好奇的是它們的面積比恰為0.618）；第三類則由正五邊形、菱形、五角星形、黃冠形四種圖形構成。

這種瓷磚的奇妙之處在于：用它們中的每一類都可無相通又無輕佻地鋪滿平面，同期鋪設結構不具“平移對稱性”，也便是說，從舉座上看圖形不重復。

更為奇妙的是，利用彭羅斯瓷磚進行鋪砌時，還可從鋪砌的圖形中找出上述瓷磚本身的放大“克隆”。

奇妙的莫比烏斯帶

一張紙，一塊布，你不錯根據它們的體式劃分它的正面和反面，可踐諾生計中是否存在莫得正反面的曲面？

把一條長的矩形紙帶扭轉180°后，再把兩頭粘起來，這就成了僅有一個側面的曲面（無正反面），它被東說念主們稱為莫比烏斯帶，由德國數學、天體裁家莫比烏斯在1858年發現。

莫比烏斯帶的造成圖示：矩形帶扭轉180°，兩頭粘起來，獲得莫比烏斯帶

莫比烏斯帶的出現，使東說念主們對于正、反面主見有了新的意志。從另外的角度看，這種曲面是一條永遠走不到盡頭的（有限）曲面。

一支筆沿莫比烏斯帶名義移動（不離開曲面），不久它又回到最先。

效法莫比烏斯帶而遐想的兒童游戲門徑

一只螞蟻不錯爬過莫比烏斯帶的通攻擊面而毋庸跨越它的邊際，這是拓撲學中的一個馳名問題。

數學中1+2+3+……是一種無盡（無盡大），它莫得上界。而莫比烏斯環這種“永遠不到頭”光顯也體現一種無盡。難怪有東說念主認為，數學標記∞（無盡大）恰是莫比烏斯帶在平面上的投影。

科學經典推選

巧妙的數學

吳振奎 著

北京大學出書社

《巧妙的數學》以數學實例揭示數學潛在的限定，同期探索用好意思學旨趣帶領數學創造和發現的途徑。書中配以200余幅插圖、豐富的小貼士和名東說念主語錄，全面展現數學的豐富文化過火與咱們平日生計的關系，斥地東說念主們賞玩數學的趣、秘、異、好意思，發現數學的陳腐、嚴謹、實用。

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